再谈教育，关于数学教育

2024-02-03

本文共3022字。

尽管写了两篇关于教育的博客（培养有趣的灵魂和教育杂谈）我仍然是一个外行。但为人父母，却又不得不担起教育子女的责任。

从马虎说起

我的大女儿小福星，数学学习目前出现了一些状况，我思考，并在这里记录一下。

从她自己数学老师的角度来说，认为小福星数学学得还可以，但就是不该太过粗心大意。这个寒假之前，她5年级上学期期末考试，数学刚刚达到优秀的标准，实在是不应该。我看了她的卷子，除了一个难一些的题目，其他的错误简直就是莫名奇妙：

居然漏看了一个小题，没做
另一个题，漏看了一个条件
计算错误
漏写括号

也许，“粗心”就可解释这些，但应该不是事情的全部。我目前看了一些书，“对症”理解了一下：

《不焦虑的数学》贼叉著，按照这位贼叉老师的意思，没有“粗心大意”的错误，只有会和不会之分。错了就是不会。这个观点挺“虎”的，初看有理，实际上是“唯结果论”的那一套，显然不能用在小福星这种有玻璃心的孩子身上。
《学习治疗手记》宋少卫著，根据宋老师的观点，粗心（马虎）分为4种类型：

信息识别与执行偏差型马虎
逻辑加工偏差型马虎
价值观偏差型马虎
知识漏洞与程序缺失型马虎

目前根据我的理解，她这次期末考试，主要应该属于第1类，漏写括号估计属于第4类。当然，价值观也有些偏差。

数学教育之道

其实说“数学教育之道”，可能目前并不合适，而应该称为“数学学习之道”。最近我看的另一本书，特别有意思，美国数学教育家保罗·拉克哈特写的，书名叫做《一个数学家的叹息》。这本书的观点总结如下：

数学是一门艺术，而不是科学。
其他形式的艺术，比如音乐、绘画、诗歌，都是通过“实战”来学习的，不是先教理论。
现在的数学教育，大量剥夺了孩子自己思考的机会，通过标准化的学习日程和考试来教育，扼杀了孩子对数学这门艺术的自然兴趣。
整个社会需要通过另一种启发的方式来传授数学，让孩子自己思考，和他们讨论不同的数学形式。

我强烈推荐所有看到这里的读者，阅读这本书。我摘抄一些书中的内容，看看能不能引起你的共鸣，或者是有所思。

要抹杀学生对一门科目的热情与兴趣，最有效的方法就是把它列为必修课。把它列入标准化测验的主要科目，就能保证让它失去生命力。

我们为什么不给学生一个机会聆听这些事情，让他们有机会真正地做一些数学，得出自己的想法、意见和回应呢？有哪个科目的惯常教法是不提来历、哲理、主题的发展、美学标准及目前状况的呢？有哪个科目会避而不谈它最初的来源——历史上一些最有创造力的人所创造出来的美妙艺术作品——而选择让三流的教科书把它低俗化？

学校里的数学，最主要的问题出在没有“问题”。我知道大家都认为在数学课堂里的问题，就是那些枯燥的“习题”。“这里有一个题型；这里是解答它的方法；这个会出现在考试里；今天的家庭作业是习题1-35题。”这样学习数学是很可悲的：人变成了训练有素的黑猩猩。

但是一个问题，一个真正符合人类天性的提问——是完全不同的。一个立方体的对角线，其长度为何？质数是无止境的吗？无限大是一个数字吗？在一个平面上用对称的方式铺瓷砖的方法有多少种？数学的历史，就是人类专注于像这类问题的历史，而不是无须动脑的反刍公式和演算（再加上那些设计来应用它们的做作习题）。

对于要以什么样的顺序教授哪些“主题”，或是要用这个符号而不是那个符号、要用什么型号的计算机，这种种的过度关注和细细斟酌，天呀，就像是对泰坦尼克号甲板上的座椅作重新排列！数学是理性的音乐（the music of reason）。搞数学是从事发现与猜测、直觉与灵感的活动；是进入疑惑的状态——不是因为它让你搞不懂，而是因为你给了它意义，而你还不知道你的创造会走向何处；是产生一个突破性的想法；是像艺术家一般遭遇挫折；是被几近痛苦的美丽所折服与赞叹；是感觉活着（alive）。该死！把这些从数学里拿掉，无论你开多少研讨会，都于事无补。就如医生，随便你动多少手术，反正你的病人已经死了。

所有这些“改革”最悲哀的地方，是企图“要让数学变有趣”和“与孩子们的生活产生关联”。你不需要让数学变得有趣——它本来就远超过你了解的有趣！而它的骄傲就在与我们的生活完全无关。这就是为什么它是如此有趣！

那么，我们要如何教导学生做数学呢？我们可以选择适合他们喜好、个性和经验程度，能吸引他们又不做作的问题。我们给他们时间去探索发现，以及形成推理。我们帮助他们精炼他们的论述，并创造一个健全有活力的数学评论氛围。对于他们好奇心的突然转向，我们保持灵活和开放的态度。简而言之，我们和学生及学科之间要有真诚的知识上的关系。

依我看来，艺术不是名词的集合，而是动词——甚至是生活的方式（或至少是解闷、逃避的一种手段）。将我们刚才一起经历过的冒险，降格简化为只是一项事实的叙述，这是完全弄错了重点。重点在于我们制作了一件事物。我们制作了美妙、令人陶醉的事物，而且我们做得津津有味。有那么个火花闪烁的瞬间，我们掀起了面纱，瞥见了永恒的纯粹美丽。这难道不是极有价值的事物吗？人类最迷人和最富想象力的艺术类型，难道不值得让我们的孩子去接触吗？我认为，绝对值得。

如何启发孩子对数学的兴趣

说完道，说一些方法。

又有两本书。孙路弘所著的《妈妈教的数学》和《爸爸教的数学》。很有意思。我目前没看完，主要是看了《爸爸教的数学》的一部分。通过问题启发孩子的思考。

问题 1

例如，有一个问题是神奇的数字，今年(2024年)的形式应该是这样的：

A、B两个人，A是“妙算魔法师”，B是见证者。由B先在心里想一个1～9的数，不告诉A。由A来指挥B进行计算。

A : 请把这个数 乘2。
B : 乘了
A : 得到的数加5
B : 加上了
A : 得到的数乘50
B : 乘了
A : 得到的数加上 1774
B : 加上了
A : 得到的数减去你的出身年份
B : 减去了
A : 你算出的结果是多少？
B : 211
A : 见证神奇的时刻到了，你看，211的百位2，就是你最开始想的那个数字，而后面的11，就是你的年龄！

大约1个月前，我和福星玩过这个游戏，她当时确实觉得很有意思，而且也和同学“显摆”了。但持续好奇的时间并不长。

问题 2

另一个例子，就是过河游戏：猎人带着狼、羊、白菜过河，只有1个小船。而且船的容量有限，猎人只能每次带狼、羊或者白菜中的一样东西过河。猎人不能把狼和羊单独放在一起，也不能把羊和白菜单独放在一起。问：如何才能把这三样东西全部带过河？

小福星思考了好几天，终于想出了答案。这个应该印象挺深刻的。

问题 3

这些方法挺好，但是如何持续呢？前些日子正好从某公众号看到一个5环问题：下面的图有5个圆，从左到右两两相交，形成9个小的空间，要在每个空间上填一个数字，1-9，使得

每个数字都只出现一次。
每个圆中的所有数字之和相等。

这个问题的原始形式是说，每个圆中的数字之和的这个值，其可能的最大值和最小值分别是多少？而且，根据那个公众号，这个原始形式居然是海淀区小学4年级或者5年级的题目！公众号的作者认为这样的题目对小学生太难了。我同意他的观点。于是，我把这个问题修改了一下，让小福星自己把满足条件的数字写法凑出来。这个题目，我目前就凑了3组，小福星凑了1组。尽管如此，她很久都无法自己想到这样一个规律：

9个数字应分为两组，只属于某个圆的5个，和两个圆共有的4个。因此：5个圆的数字之和的总和，应该等于 $1+2+3+..+9$ 再加上共有的4个数字的和。我尝试引导她往这个方向思考，很多天之后，我是告诉她了。我不知道是不是我太急了，不知道她这个年龄的思维特点是什么，我想我和她一样大的时候能自己想出这个规律。

当然现在我已经想明白，原始形式的题目的答案。我让小福星继续思考，寻找其中的其他规律。思考的过程总是乐趣无穷，但她目前还是有些被动。

其他的思考

贼叉老师的“背诵平方法”，感觉不是很对路子，我有病乱投医，让福星去背，但很快我就让她自己决定要不要背下去。如果《一个数学家的叹息》指出了关键问题，那么贼叉老师就是一个通过一些方法“帮你用更高的分数通过考试”的数学老师。其隐含的前题，或者说大部分人所认为的 孩子应该超过其他人考上好大学 ，本身就是错误的 。从这点看，能让孩子玩一辈子数学（或者TA喜欢的任何事物），肯定比分数更重要。

玩耍是孩子的天性。《玩耍是最认真的学习》中提到了瑟谷学校，我可继续搜集资料。

今天写到这里吧。希望我自己能继续进步；希望美心和福星长大后，能看到这篇，有所理解。