3×8还是8×3，这事情不重要，重要的是...

一般的热点，我不会去追。但这次全网都很火热的乘法算式，我还是忍不住要写一篇。

背景简介：有3个盘子，每个盘子里有8个苹果，列式求出一共多少个水果。某小学二年级学生写成了 $3 \times 8 = 24$，被老师判为错误，且给出了理由，同时要求家长注意最近的教材改革要求。我认为，就这件事情来说，老师并没有做错什么，我支持。而这件事情引发的全网大讨论，才体现了更深层的问题。

乘法的定义

先就事论事。本质上，这是一个乘法的定义问题。乘法是加法的压缩表达形式。在自然数领域，其定义是这样的：

$$a \times b = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{b \text{个}} = \Sigma_{i=1}^b a$$

而不是这样的：

$$a \times b = \underbrace{b + b + \cdots + b}_{a \text{个}} = \Sigma_{i=1}^a b$$

用自然语言来说，$a \times b$ 定义为 $b$ 个 $a$ 相加，而没有定义为 $a$ 个 $b$ 相加。

另外，定义能更换吗？例如 $a \times b$ 定义成 $b$ 个 $a$ 相加 或者 $a$ 个 $b$ 相加。我认为这是不合理的。因为定义需要严格，这里的“或者”，是完全随意的选择，没有任何区分条件，这种定义显然是含糊的。我们也不能因为乘法满足交换率，就反过来采用这种模糊的定义。

一个刚刚学习乘法的小学生，需要严格按定义来做题，显然很合理。

交换率

当然，在自然数领域，乘法满足交换率，即

$$a \times b = b \times a$$

当一个人熟练地使用交换率时，可以随意交换乘法中的两个因子，而不影响结果。

教材修改历史

我记得，自己学乘法的时候，有被乘数和乘数，而且老师严格区分了，被乘数在前，表示每份量，而乘数在后，表示份数。这个说法和上文给出的定义是一致的。

但是，小福星上2年级学这个概念时，老师明确指出，乘法的前后两个数都是因数，没有被乘数和乘数的说法了。当时我和她说被乘数和乘数的时候，她还明确和我说教材改了。我当时也没想太多。

从网上各官方媒体和自媒体的报道来看，最新的教材又改回来了。讽刺的是小福星最近刚上初一，类似的乘法问题因为顺序，也被老师指出错误了，她觉得特别委屈。

真正的问题

真正的问题不在于乘法的顺序，也不在于数学本身。

我认为，以下是更值得思考的问题：

1. 为什么教材改来改去？当时改成因数不强调顺序的时候，基于什么理由？是修改了乘法的定义吗？还是为了减轻负担？
2. 为什么无论教材上怎么给（即使有逻辑上的不足），老师就得照着说？老师还特别强调教材改了就得照着来？
3. 能不能学学芬兰，给老师更大的自主权？
4. 当下用文字考试的形式评估学生的理解程度，真的足够好吗？
5. 我了解到，最“激进”的教育改革家长们，认为中国当前的基础学校教育不仅完全没有必要，还反过来限制了学生的想象力、创造力和自主学习能力，已经开始实质上离开学校开启在家自学或者自由玩耍了，而他们反而认为自己是最保守的。这个现象难道不更值得思考吗？

看看另一个例子。小福星4年级的时候，有一次有个判断题，题干是这样的：

梯形有一组对边平行。

孩子答对，老师却判错，为了这事情我还和老师交流过。老师说，正确的说法是：

梯形有且只有一组对边平行。

依我看，这是中文（以及所有自然语言）的毛病了。我理解，那个判断题，给出的是梯形的性质说明，所以题干没错；而老师认为（所有教研的老师共同讨论结果），给出的是定义，因此题干错了。我们都有各自的道理。而且，老师向我保证，这类问题因为有争议，不可能会出现在考试里面。但是，为何不把判断题的题干写成这样：

有一组对边平行的四边行是梯形。

或者

梯形的定义，是有一组对边平行的四边形。

显然这两句都是错的，不会出现争议。

在这个例子中，批判性思维，难道不是更重要的能力吗？