一道长方体数学题的多种解题思路（适用于小学高段到初中）

题目

如图：已知长方体所有边的边长是整数，3个表面的面积分别为24、12、18。求长方体的体积。

请先思考如何解题，再看下面的解法，能有得最大的收获。

题目条件和求解目标的整理

设长方体的长宽高分别为 $a、b、h$（均为整数），那么题目条件可转换为

$$\begin{cases} ab=24 & (1) \\ ah=18 & (2) \\ bh=12 & (3) \\ \end{cases}$$

求解的式子是 $abh$ 。

有的学生甚至大人，在无从解题的时候，常常快速放弃，这就失去了求解的可能性。可先按上面的方法整理条件和求解目标，可能就有了思路。

因式分解猜测法

请看视频。

方程法

因式分解为何想到了呢？关键在于题目中有一个条件，是长宽高都是整数，我们会不自觉的使用这个条件。但我们可以不考虑这个条件，观察可知， 整个题目的要素如下表

条件	求解
$\begin{cases} ab=24 & (1) \\ ah=18 & (2) \\ bh=12 & (3) \\ \end{cases}$	$abh$

其实就可以去解方程，求出$a\ b\ h$，然后计算 $abh$。怎么解呢？观察 $(1)$、$(2)$、$(3)$，发现具有某种对称性，那么可以进行消元：

$(1)$ 和 $(3)$ 左右两边都做除法，可得：

$$\frac{ab}{bh}=\frac{24}{12}$$

也就是

$$\frac{a}{h}=2\ (4)$$

我们得到了一个新的式子，联合原来的条件，就变成了下面的问题：

条件	求解
$\begin{cases} ab &=24 & (1) \\ ah &=18 & (2) \\ bh &=12 & (3) \\ \frac{a}{h}&=2 & (4) \\ \end{cases}$	$abh$

再观察，发现 $(2)$ 和 $(4)$ 中包含两个相同的未知数，可通过左右同时相乘进行消元，得到

$$a^2 = 36\ (5)$$

于是 $a = 6\ (6)$ ，代回$(1)$ $(2)$，可计算出 $b = 4$ 以及 $h = 3$，因此体积为 $abh=72$。

整体思维

刚才解方程的过程，是把 $a\ b\ h$ 三个未知数都算出来了，有没有更简单的办法呢？其实，由于对称性，我们可以把$(1)$、$(2)$、$(3)$ 三个式子左边和右边全部相乘，得到

$$\begin{split} & ab\times ah\times bh = 24\times 18\times 12 \\ \implies & (abh)^2 = 24\times 18\times 12 \\ \implies & (abh)^2 = 12\times 2\times 18\times 12 \\ \implies & (abh)^2 = (12\times 6)^2 \\ \implies & abh = 72 \end{split}$$

对称思维

刚才的整体思维，其实和另一种形式的问题特别类似，如下：

条件	求解
$\begin{cases} a + b &=24 & (1) \\ a + h &=18 & (2) \\ b + h &=12 & (3) \\ \end{cases}$	$a + b + h$

思路也类似，如果是整体思维，可以把三个式子左边和右边全部相加，得到

$$\begin{split} & a + b + a + h + b + h = 24 + 18 + 12 \\ \implies & 2(a+b+h) = 24 + 18 + 12 \\ \implies & a+b+h = 27 \end{split}$$

这种用类似的思路解类似的问题（但细节又不完全一致），体现了数学的对称之美：

1. 问题都与方程有关；
2. 总未知数为3；
3. 方程的个数也是3；
4. 每个未知数恰好出现在两个方程之中；
5. 每个方程恰好包含两个未知数；
6. 求解目标是3个未知数的和或者积；
7. 整体思维的求解方法是通过左右两边同加或同乘，得到中间结果，再直接算出求解目标。

如果是采用前面的消元法解方程，也可以求解这个问题（方法同样具有对称性），留给作为读者的你去思考。